第七章 比和比例

一 比和比例的性质

1. 定比值定理

比的两项分别乘以或除以不等于零的同一个数，它的比值不变。

公式： a:b=ma:mb，

理由 比的前項就是分数的分子，后項就是分数的分母，比值就是分数的值。根据分数的性質，知道比的两項被同一个数（不等于零）乘或除，比值是不变的。

注意 我們应該記住：任何一个比的后項都不能等于零。

2．連等比定理

如果有許多个比連等，那末它們許多前項的和同許多后項的和的比，等于原有的各个比。

公式：

理由 設以r表原有的各个比的比值，那末可得

a = br , c = dr , e = fr , g = hr ,.......

3．等积定理

比例式的两个外项的积等于两个内項的积。

公式：如果 a : b = c : d ，那末 ad = bc .

理由 因为 a : b = c : d 就是a/b=c/d，由等式的性質，以 bd 乘两边，得

就是 ad = bc .

4．逆等积定理

如果两个数的积等于另外两个数的积，那末这四个数成比例，可以把前面的两个数做两个外项，后面的两个数做两个内项。

公式：如果 ad = bc ，那末 a : b = c : d .

理由 因为 ad = bc ，由等式的性質，以 bd 除两边，得

就是 a : b = c : d .

5．反比定理

如果两个比相等，那末它們的反比也相等。

公式：如果 a : b = c : d ，

那末 b : a = d : c .

理由 因为，a/b=c/d，所以1÷a/b=1÷c/d，就是b/a=d/c。

6．更比定理

比例式中的两个外項可以更調，两个內項也可以更調。

公式：如果 a : b = c : d ，那末

d : b = c : a ,

a : c = b : d .

理由 因为a/b=c/d，以d/a乘两边，得d/b=c/a；以b/c乘两边，得a/c=b/d.

7．合比定理

比例式的第一、二两项的和同第二项的比，等于第三、四两项的和同第四項的比，

公式：如果 a : b = c : d ，那末 a + b : b = c + d : d .

理由 因为a/b=c/d，由更比定理，得a/c＝b/d，再由连等比定理，得

(a + b)/(c + d)=b/d

最后再由更比定理，得

(a + b)/b=(c + d)/d

注意 如果先利用反比定理，也可得 a + b : a = c + d : c .

8．分比定理

比例式的第一、二两項的差和第二項的比，等于第三、四两項的差和第四項的比。

公式：如果 a : b = c : d ，那末

a - b : b = c - d : d .

理由 在原比例式的两边各減去1，得

(a/b)-1=(c/d)-1.

就是 (a-b)/b=(c-d)/d

注意 合比定理如果仿照这个方法来証明，只要在原比例式的两边各加上1，比較簡便。又分比定理的結果也可写作

a - b : a = c - d : c .

9．合分比定理

比例式中第一个比两項的和同差的比，等于第二个比两項的和同差的比。

公式：如果 a : b = c : d ，那末

a + b : a - b = c + d : c - d .

理由 根据合比定理，知道

(a + b)/b=(c + d)/d (1)

又根据分比定理，知道

(a-b)/b=(c-d)/d (2)

由（1)÷(2)，得

(a + b)/(a - b)=(c+ d)(c-d).

二 比和比例的问题

1．求比值的問題

求两个代数式的比的比值，实际就是把一个分式化簡。又求方程中两个未知数 x 和 Y 的比的比值，必須先把原方程变成 ax = by 的形式，然后可由逆等积定理，得

x : y = b : a 。

例題154．求a²-b²:a²-2ab+b²的比值。

解

例題155. 已知x²+2y²=3xy，求 x : y 的比值．

解 把原方程移項，得x²-3xy+2y²=0.

把左边分解因式，得

( x - y )(x-2y)=0.

两式的积是0，那末至少有一个因式的值等于0.

如果 x - y =0，移項得 x = y ，由逆等积定理得

x : y =1:1=1.

如果 x -2y=0，移項得 x =2y，由逆等积定理得 x : y =2:1=2.

2．求比例的未知数

利用比例的性質和等式的性質，可以求比例的未知数。算术中的比例式只有一項含未知数，代数中的比例式可以有几项含未知数。这种比例式实际就是分式方程。

例题156. 求下列比例式中的 x :

解 由比例的等积定理，得

两边都除以a²b²，得

例题157． 求下列比例式中的 x :

解 由比例的等积定理，得

(a+x)(x-n)=(b+x)(x+n).

就是

x²+ax-nx-an=x²+bx+nx+bn .

移項，相消，得

ax-bx-nx-nx=an+bn

左边集項，得

(a-b-2n)x = an + bn .

变系数，得

因为任何一个比的后項都不是零，所以应該把上面求得的 x 的值代入b+x和x-n两式，算得都不等于零，于是知道这是所求的解答．

例題158． 已知 x - y =2ab, a≠0, b≠0，求下列比例式中的 x 和y:

x : y =( a + b )²:( a - b )².

解 由分比定理，得

x-y:y =(a+b)²-(a-b)²:(a-b)².

以 x - y =2ab代入，得

2ab:y =(a+b)²-(a-b)²:(a-b)².

以求得的 x 和 y 的值代入原比例式，检驗后知道，它們是所求的值。

例題159. 求下列比例式中的 x ，但 x 不等于零：

解 由合分比定理，得

代入原比例式，检驗后知道是适合的，所以½是所求的 x 的值。

研究题 三O

1．求下列各比的比值：

2. 求下列各式中的 x : y 的比值：

(1)3x+5y=2x-y

(2)7(2x-3y)=5x

(3)x²-5xy+4y²=0

3. 求下列比例式中的 x :

几张图片后公布答案。

研究题答案：

以上内容来自《代数和初等函数指导》，编者●许莼舫，中国青年出版社，1979年。

最后一个问题。

问：已知a:b=2:3，b:c=2:5，求a:b:c=？

解：用古代数学家刘徽的齐同术可以解决连比问题。

a:b=2:3=4:6

b:c=2:5=4:10

∴a:b:c=4:6:10

∴a:c=4:10=2:5

齐同术可以使三率悉通矣。